Random walks on groups - 에르고딕 이론 ② 에르고딕성

목차

 

지난 포스트에서 이어집니다.

Random walks on groups - 에르고딕 이론 ① 측도 보존 계

 

지난 포스트에서 측도 보존 계(measure-preserving system)를 정의하였으니, 이제 에르고딕성(ergodicity)에 대해 다루겠습니다.

1. 에르고딕성(ergodicity)

제가 처음 에르고딕성(ergodicity)을 마주친건 경제학을 공부할 때 였습니다. 보통 시계열을 다룰 때 에르고딕성을 가정하는데, 워낙 추상적인 개념이라 그런지 정의나 설명 없이 넘어가는 경우가 많았습니다. 제가 경제학을 떠나 전공을 바꾸면서 한동안 마주칠 일이 없다가 지난 해에 수학과 대학원 강의 Random walks on groups를 청강하면서, 또 마주치게 되었습니다.

에르고딕성은 다음과 같이 정의 됩니다.

(Def) Ergodicity
A measure-preserving system $(X,\mathcal{A},\mathbb{P},T)$ is ergodic if for all $A \in \mathcal{A}$ such that $T^{-1}A =A$, then $\mathbb{P}(A) = 0$ or $\mathbb{P}(A) = 1$.

즉, dynamic $T$에 대해서 변하지 않는 (invariant)  사건 $A$의 확률이 1 또는 0인 경우, 시스템이 에르고딕 하다고 합니다. 이렇게 정의만 보면, 이해 하기가 힘들 수 있기 때문에 아래의 그림을 예로 가져왔습니다. 

 

 

a 라는 시스템과 b 라는 시스템이 있다고 합시다. 여기서 한 입자가 시간에 따라 움직입니다. 이때 입자가 a 시스템처럼 움직이면 에르고딕하지 않습니다. 왜냐하면 시간이 무한히 흘러도 입자의 궤도(orbit)가 가운데의 원을 지나지는 않기 때문입니다. 입자가 지나지 않는 저 가운데의 원이 바로, dynamic에 대해 변하지 않는 집합, 즉 $T^{-1}A=A$를 만족시키는 집합입니다. 반면에 시스템 b는 에르고딕성을 충족합니다. 시간이 무한히 흐르면, 결국 입자의 궤도가 공간 전체를 완전히 메울 것이기 때문입니다. 

에르고딕성은 다음의 lemma와 동치입니다.

(lemma 1)
A measure-preserving system is ergodic if and only if for any $f \in \mathcal{L}^{1}(X,\mathbb{P})$ such that $f \circ T = f$, we have that $f$ is constant a.e.(almost everywhere)

에르고딕성이 invariant set $A$에 대해서 $\mathbb{P}(A) = 0$ 또는 $\mathbb{P}(A) = 1$이라면, invariant function(또는 observable)에 대해서는 그 함수가 거의 모든 곳에서 (almost everywhere) 상수 함수여야 합니다.

증명은 아래와 같습니다.

(proof)
($\Leftarrow$)
Suppose $T$ is ergodic and $f$ is invariant ($f \circ T = f$).
Let $A = \{ x: \; f(x) \geq c\}$
Then, $T^{-1}A = \{ x: \; f(Tx) \geq c\} = \{x: \; f(x) \geq c \} = A$ since $f$ is invariant.
Then, $\mathbb{P}(A) =0$ or $\mathbb{P}(A) = 1$ for any $c$
Let $k = sup \{ c: \; \mathbb{P}(f(x) \geq c) = 1\}$.
Then, $f=k$ on a set of measure 1.

($\Rightarrow$)
Suppose $T^{-1}A = A$.
Take $f=\mathbf{1}_{A}$.
Then it is $T$-invariant since $\mathbf{1}_{A} \circ T = \mathbf{1}_{T^{-1}(A)} = \mathbf{1}_{A}$.
Then, $\mathbf{1}_{A}$ is constant a.e..
If $f=0$ a.e., $\mathbb{P}(A) = 0$,or if $f=1$ a.e., $\mathbb{P}(A)=1$.

이제 지난 포스트에서 다뤘던 원 $S^{1}$ 위에서의 회전 이동에 대해 다뤄봅시다.
회전은 다음과 같이 정의했습니다: $T(x) = x + \alpha \; (mod \; 1)$.
이때 $\alpha \in \mathbb{Q}$인 경우는, 시스템이 에르고딕하지 않습니다. 주기성이 생기기 때문입니다.
예를 들어, $\alpha = 1/2$일 때, 집합 $A$가 아래 그림의 파란 부분이라고 합시다. 그러면 180도 회전에 대해서 집합 $A$는 변하지 않는 집합입니다. 그러나 집합 A의 르베그 측도(길이)는 0도 아니고, 1도 아닙니다. 따라서, 이 시스템은 에르고딕 하지 않습니다.

반면에, $\alpha \notin \mathbb{Q}$ 라면, 시스템은 에르고딕합니다.

(lemma 2)
$T(x) =  x+ \alpha \; (mod \; 1)$ for $\alpha \notin \mathbb{Q}$ is ergodic on $S^{1}$ with Lebesgue measure.

이에 대한 증명은 아래와 같습니다.

(proof)
lemma 1에 따라 우리가 보이고 싶은 것은 $f \circ T = f$를 만족하는 $f$가 거의 모든 곳에서 상수 함수라는 것입니다. (a.e. constant)
$f$를 푸리에 급수로 나타냅니다: $f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{n}e^{2\pi inx}$.
그러면 아래의 결과를 얻을 수 있습니다.
$ \begin{equation} \begin{split}
f \circ T(x) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{n} e^{2\pi in(x + \alpha)} \\
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{n}e^{2 \pi in \alpha} \cdot e^{2 \pi inx} \\
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{n} e^{2\pi inx}
\end{split} \end{equation}$
(마지막 등식이 성립하는 이유는 $f$가 invariant이기 때문입니다.)
 따라서, $\forall n \in \mathbb{Z}, \; a_{n} = a_{n}e^{\pi in\alpha}$ 입니다.
이는 $a_{n}(1 - e^{\pi in\alpha}) = 0$ 이고, $a_{n} = 0$ or $e^{\pi i n\alpha } = 1$ 가 됩니다.
$\alpha \notin \mathbb{Q}$이므로, 0 이 아닌 모든 $n$에 대해서 $e^{2\pi in\alpha} \neq 1$ 입니다.
따라서, $a_{n} = 0 \;  \forall n \neq 0$이고, $f(x) = a_{0}$ 이 됩니다.

2. 에르고딕 정리(ergodic theorem)

이 포스트에서는 2개의 에르고딕 정리를 다루겠습니다.
하나는 폰 노이만(Von Neumann)의 에르고딕 정리이고, 다른 하나는 버코프(Birkhoff)의 에르고딕 정리입니다.

먼저, 편의를 위해 다음을 정의 하겠습니다.

(Def)
Let $f=\mathcal{L}^{2}(X,\mathbb{P})$, $T: X \rightarrow X$ is measure-preserving
$\mathcal{L}^{2}(X, \mathbb{P})^{T}:=\{ f \in \mathcal{L}^{2}(X,\mathbb{P}): \; f \circ T = f \}$

그리고 에르고딕 합을 정의 하겠습니다. 이는 단순히 dynamic에 대한 합입니다.

(Def) Birkchoff / ergodic sum
$S_{n}f := f(x) + f(Tx) + f(T^{2}x) + \dotsc +f(T^{n-1}x) $

폰 노이만의 에르고딕 정리 다음과 같습니다.

(Thm) Von Neumann's ergodic theorem
Let $f \in \mathcal{L}^{2}(X,\mathbb{P})$ and $T:X \rightarrow X$ be measure-preserving.
There exists $\bar{f} \in \mathcal{L}^{2}(X,\mathbb{P})$ such that $\bar{f} \circ T = \bar{f}$ and
$\frac{S_{n}f}{n} \rightarrow \bar{f}$ in $\mathcal{L}^{2}(X,\mathbb{P})$

즉, 시간(dynamic)에 대한 평균이 invariant한 어떤 함수로 ($\mathcal{L}^2$) 수렴한다는 것입니다.
흥미로운 점은 폰 노이만의 에르고딕 정리가 기하학적인 의미를 가진다는 것인데, $\bar{f}$는 사실 $f$를 $\mathcal{L}^{2}(X, \mathbb{P})^{T} $에 직교사영(orthgonoal projection)한 결과입니다.

폰 노이만의 에르고딕 정리의 증명은 복잡해서 다루지는 않겠지만, 증명의 아이디어는 다음과 같습니다.

(Idea of proof)
다음과 같은 집합을 정의합니다: $\mathcal{C} = \{ f=g - g \circ T | g \in \mathcal{L}^2\} \subset \mathcal{L}^2$.
그리고 아래의 claim을 받아들이겠습니다. 사실 이 claim이 증명의 핵심이며, 복잡한 부분입니다.
Claim: $\mathcal{L}^{2}(X,\mathbb{P}) = \bar{\mathcal{C}} \bigoplus \left(\mathcal{L}^{2} \right)^{T} $ (not trivial!)
즉, claim은 $ \mathcal{L}^{2}(X,\mathbb{P}) $를 $ \mathcal{C} $의 closure와 $ \left(\mathcal{L}^{2} \right)^{T} $의 직교합(orthogonal sum)으로 나타낼 수 있다는 것입니다.
그러면 $f \in \mathcal{C}$ 인 경우, 다음의 결과를 얻습니다.
$ \begin{equation} \begin{split}
\frac{S_{n}f}{n} &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \circ T^{k} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}  (g \circ T^{k} - g \circ T^{k+1} ) \\
&= \frac{1}{n} ( g - g \circ T^{n} ) 
\end{split} \end{equation} $

그리고 $\frac{1}{n} \left\Vert (g - g \circ T^{n}) \right\Vert_{2} \leq \frac{1}{n} \left( \left\Vert g \right\Vert_{2} + \left\Vert g \circ T^{n} \right\Vert_{2} \right) = \frac{2}{n} \left\Vert g \right\Vert_{2} \rightarrow 0 \; \text{as } n \rightarrow \infty$ 이 됩니다. 마지막 등호는 measure-preserving이기 때문입니다.

$f \in \left( \mathcal{L}^{2} \right)^{T}$ 라면, $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \circ T^{k} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f = f$ 입니다. 따라서,  $\bar{f} = f$ 입니다.

 

버코프의 에르고딕 정리는 다음과 같습니다.

(Thm) Birkhoff's ergodic theorem
Let $f \in \mathcal{L}^{1}(X,\mathbb{P})$ and $T:X \rightarrow X$ be measure-presearving.
Then, there exists $\bar{f} \in \mathcal{L}^{1}(X, \mathbb{P})$ such that $\bar{f} \circ T = \bar{f}$ and
$\frac{S_{n}f(x)}{n} \rightarrow \bar{f}(x)$ for $\mathbb{P}-a.e.$ $x \in X$ and in $\mathcal{L}^{1}(X,\mathbb{P})$.
($\mathbb{P}$-a.e. : There is a set $X_{0} \subset X$, $\mathbb{P}(X_{0}) = 1$ such that $\forall x \in X_{0}$, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}f(x)}{n} = \bar{f}(x)$)

 $\mathcal{L}^{1}$에서의 정리라는 점에서 폰 노이만의 정리와 차이가 있습니다. 그리고 무엇보다 convergence가 almost everywhere pointwise convergence 라는 점에서 폰 노이만의 정리보다 더 강력한 정리라는 것을 알 수 있습니다.

위의 정리들에 에르고딕성이 더해지면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

(Coro)
If $T$ is ergodic, then $\bar{f} = c$.
Thus, There exists $c \in \mathbb{R}$ such that for all $x \in X_{0}, \frac{S_{n}f(x)}{n} \rightarrow c$

즉, 시스템이 에르고딕 하면, 시간(Dynamic)에 대한 평균이 상수 함수(constant almost everywhere)로 수렴합니다.
그리고 사실 이 상수는 공간에 대한 평균입니다: $c = \int_{X} f \, d\mathbb{P} = E[f]$.
이러한 논리의 흐름에 의해서 통계역학이나 경제학에서 등장하는 에르고딕 가설이 의미하는 바가 곧 "매우 긴 시간 평균(Time average)이 곧 공간 평균(Space average)과 같다." 라는 것입니다.