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이제 앞으로 많이 사용할 에르고딕 정리(ergodic theorem)에 대해 다루겠습니다. 이를 위해서는 측도 보존 계(measure-preserving system, MPS)를 정의해야 합니다. 이번 포스트는 에르고딕 정리를 위한 빌드업으로 측도 보존 계를 다루겠습니다.
1. 정의
측도 보존 계(Measure-preserving system)은 다음과 같이 정의 됩니다.
(Def) Measure-preserving system(MPS)
$(X, \mathcal{B},\mathbb{P})$: measure space with probability measure
$T: X \rightarrow X$: measurable $(\forall B \in \mathcal{B}, T^{-1}B \in \mathcal{B})$.
$T$ preserves $\mathbb{P}$ if $\mathbb{P}(T^{-1}(B)) = \mathbb{P}(B), \forall B \in \mathcal{B}$.
We will denote $T_{*}\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(T^{-1}(B))$ as push forward measure.
$T$는 dynamic 또는 time evolution입니다. 예를 들어, $X$가 서울의 하늘이라고 하면, $T$는 오늘 서울의 날씨 상태(state)를 내일 서울의 날씨 상태로 보내는 map이 됩니다. 이러한 $T$가 측도를 보존한다는 것(measure-preserving)은 모든 사건(event)에 대하여, 그 사건이 오늘 서울에 일어날 확률과 내일 서울에 일어날 확률이 같다는 의미입니다. 날씨를 예로 들면, 오늘 서울에 비가 올 확률이 내일 비가 올 확률과 같은 것입니다.
(Def) Observables
An observable is a measurable function $f: X \rightarrow \mathbb{R}$.
위에서 든 예시를 계속 이어가면, $f$는 온도가 될 수 있습니다.
(Coro)
If $(X,\mathcal{B},\mathbb{P},T)$ is MPS, then $\int_{X} f \circ T \, d\mathbb{P} = \int_{X} f \, d\mathbb{P}$ for any measurable $f \in L^{1}(X,\mathcal{P})$
(예시)
$f$가 지시함수(indicator function) $\mathbf{1}_{B}$, $B$: measurable 라고 합시다. 그러면 $\mathbf{1}_{B} \circ T = \mathbf{1}_{T^{-1}(B)}$ 가 됩니다. 위의 corollary가 성립한다면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:
$\mathbb{P}(T^{-1}(B)) = \int_{X} \mathbf{1}_{T^{-1}(B)} \, d\mathbb{P} = \int_X\mathbf{1}_{B} \circ T \, d\mathbb{P} = \int_{X}\mathbf{1}_{B} \, d\mathbb{P} = \mathbb{P}(B)$
따라서, corollary를 이용하면 원래의 MPS의 정의로 돌아갈 수 있습니다.
2. 예시
2 - 1. $X=\mathbb{R} / \mathbb{Z} = S^{1}$ 에서의 shift
다음과 같은 $T$를 생각해봅시다.
$T(x) = x+\alpha \; (mod \; 1), \; \alpha \in \mathbb{R}$.
그리고 측도로는 르베그 측도(길이)가 주어졌다고 합시다.
$\mathbb{P} = \text{Lebesgue}$.
$T$는 원 위에서의 회전 이동이므로, 자연스럽게 아래의 결과가 성립합니다.
$\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(T^{-1}(A)) = \mathbb{P}(A-\alpha)$
이는 $S^{1}$ 위에서의 shift는 MPS 임을 의미합니다.
2 - 2. $X=\mathbb{R} / \mathbb{Z} = S^{1}$에서의 expansion
이번에는 $T$과 다음과 같은 expansion이라고 합시다.
$T(x) = 2x \; (mod \; 1)$
측도는 마찬가지로, 르베그 측도를 생각합시다. ($\mathbb{P}: \text{Lebesgue}$)
이 계(system)가 MPS임을 보이기 위해서는 $\mathbb{P}(T^{-1}(A)) = \mathbb{P}(A), \; \forall \in \mathcal{B}$를 확인해야 합니다. 보렐 시그마 대수는 half-interval로 만들어지므로 $A=[a,b)$에 대해서만 확인해도 충분합니다.
$T(x)$는 아래의 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.
그러면 $T^{-1}(A) = [\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \cup [\frac{a}{2} + \frac{1}{2}, \frac{b}{2} + \frac{1}{2})$ 가 되고,
$\mathbb{P}(A) = b-a = 2\left( \frac{b-a}{2} \right)$ 이므로, $S^{1}$에서의 expansion은 MPS 임을 확인할 수 있습니다.
2 - 3. Bernoulli shift
마지막 예시는 Bernoulli shift 이며, 아래와 같이 정의 됩니다.
$\mathcal{A}=\{ a_{1}, a_{2},...,a_{r}\}$ 라는 집합이 있으면,
$X = \{ x = (x_{n})_{n \geq 0}, \; x_{n} \in \mathcal{A} \}$ 는 집합 $\mathcal{A}$의 원소로 이루어진 수열들의 공간입니다.
$T=\text{shift map}$, $T((x_{n})) = (x_{n+1})$ 는 수열을 한칸씩 뒤로 보내는 변환입니다.
이러한 공간 위에서 확률을 정의하려면 먼저 다음과 같이 $p_{i}$들을 선택해줍니다: $(p_{1},...,p_{r}), \; p_{i} \geq 0 \; \forall i, \; \sum_{i=1}^{r} p_{i}=1$.
그리고 cylinder set을 다음과 같이 정의 합니다:
$\rho (b_{1},...,b_{s}) = \{ x \in X: \; x_{i}=b_{i} \; \text{for } i \leq s\}$
즉, cylinder set은 앞의 유한한 개수의 좌표(또는 원소)를 고정한 수열들의 집합입니다.
Cylinder set의 확률은 $\mathbb{P}(\rho(b_{1}, ..., b_{s})) = p_{b_{1}} \dotsc p_{b_{s}}$가 됩니다.
예를 들어, $\mathcal{A} = \{a,b,c,d\}$ 라고 하고, 각 문자에 대응되는 확률을 $(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{8})$ 라고 합시다. 그러면 $\rho(a,b) = \{x=(a,b,*,*,*,...)\}$은 cylinder set이고, 이 cylinder set의 확률은 $\mathbb{P}(\rho(a,b)) = p_{a}p_{b} = \frac{1} {2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ 이 됩니다.
이제 $T_{*}\mathbb{P} = \mathbb{P}$임을 확인해봅시다.
$\begin{equation} \begin{split} \mathbb{P}(T^{-1}\rho(b_{1},...,b_{s})) &= \sum_{a \in \mathcal{A}} \mathbb{P}
(\rho(a,b_{1},...,b_{s})) \\ &= \sum_{a \in \mathcal{A}} p_{a}p_{b_{1}} \dotsc p_{b_s} \\ &= \left( \sum_{a \in \mathcal{A}} p_{a} \right) p_{b_{1}} \dotsc p_{b_{s}} \\ &= p_{b_{1}} \dotsc p_{b_{s}} \\ &= \mathbb{P}(\rho(b_{1}, ... , b_{s})) \end{split} \end{equation}$
따라서, Bernoulli shift는 MPS 입니다.
3. Random walk에 적용
이제 measure-preserving system을 랜덤 워크에 적용해 봅시다. 우리가 랜덤 워크를 기록한다고 하면, 두 가지 방법이 있을 것입니다. 하나는 랜덤 워크의 움직임을 기록하는 방법이고, 다른 하나는 랜덤 워크의 위치를 기록하는 것입니다. 먼저, 랜덤 워크의 움직임을 기록하는 경우의 공간을 생각해 보겠습니다.
$G$가 countable group 이라고 합시다. 그리고 $\mu$는 $G$ 위에서의 확률 측도(probability measure)라고 합시다.
예를 들어, $supp\mu = \{ b_{1},...b_{s} \}$ 이면, $\mu(b_{i}) = p_{i}, \; \sum_{i \geq 1} p_{i} = 1$로 확률을 정의합니다.
$\mu$의 support가 무한 집합이면, $G$를 $\mathbb{Z}$에 대응시켜서 다음과 같이 확률을 줄 수 있습니다:
$\mu(k) =\begin{cases} 0 \; \text{if } k \leq 0 \\ \frac{c}{k^{2}} \; \text{if } k \geq 1, \; c:\text{constant} \end{cases}$ where $\sum_{k \geq 1} \frac{c}{k^{2}} = 1$
이제 위에서 보인 Bernoullo shift를 적용합니다.
$\mathcal{A} = G$ 라고 하면, $X=(G^{\mathbb{N}}, \mu^{\mathbb{N}}, T=\text{shift map})$을 정의합시다.
$G^{\mathbb{N}}$의 원소는 $G$의 원소들로 이루어진 수열 $(g_{n})$ 입니다. Cylinder set에 대한 곱측도(product measure)는 $\mu^{\mathbb{N}}(g=(g_{1},...,g_{n},*,*,*,...))=\mu(g_{1})\mu(g_{2}) \dotsc \mu(g_{n})$이 됩니다. 그러면 아래와 같이 step space를 정의할 수 있습니다.
(Def) The space $(G^{\mathbb{N}},\mu^{\mathbb{N}})$ is called the step space of the random walk. Its elements are denoted by $(g_{n})$.
각 $n$에 대하여 $g_{n}: \; (G^{\mathbb{N}},\mu^{\mathbb{N}}) \rightarrow G$ 은 확률변수이며, $(g_{1},g_{2}, ..., g_{n}, ...)$ 은 law $\mu$에 대하여 iid 입니다.
Step space 에서 shift $T$는 $T((g_{n})) = (g_{n+1})$ 입니다. 예를 들어 $supp\mu = \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$ 이라면, $T(a,b,b^{-1},a^{-1},b,...) = (b,b^{-1},a^{-1},b,...)$가 됩니다. shift $T$는 측도 $\mu^{\mathbb{N}}$를 보존합니다. (이는 위의 Bernoulli shift에서 이미 보였습니다.)
종합 했을 때, step space는 랜덤 워크의 움직임을 나타내는 공간입니다.
이제 아래와 같이 랜덤 워크의 위치를 나타내는 공간을 정의할 수 있습니다.
(Def) Path space $\Omega$
$A$=set. $\Omega=G^{\mathbb{N}}$ given $(g_{n}) \in G^{\mathbb{N}}$
Define $\omega_{n} \in \Omega$ by $\forall n, \; \omega_{n} = g_{1}g_{2}\dotsc g_{n}$ (used group structure)
This defines a map $\pi: \; G^{\mathbb{N}} \rightarrow \Omega$
An element $(\omega_{n})$ is called a sample path
Define $\mathbb{P}:= \pi_{*}(\mu^{\mathbb{N}})$ (push forward measure). Then, $(\Omega, \mathbb{P})$ is a path space
예를 들면, $\pi((a,b,b^{-1},a^{-1},b,...)) = (a,ab,a,e,b,...) = (\omega_{1}, \omega_{2}, ...)$가 됩니다.
위의 정의에서 중요한 점은 path space의 원소 $(\omega_{n})$은 iid 가 아니라는 것입니다. 또한, map $s: \Omega \rightarrow \Omega$, $s((\omega_{n})) = (\omega_{n+1})$ 은 측도를 보존하지 않습니다. (not measure-preserving)
정리 하자면, step space는 랜덤 워크의 움직임에 대한 공간이고, path space는 랜덤 워크의 위치에 대한 공간이라고 보시면 됩니다. 같은 랜덤 워크로부터 나온 2개의 공간이지만 둘의 성질은 완전히 다릅니다. Step space의 원소는 iid이며, $T$가 정의된 infinite product measure를 보존합니다 (measure-preserving). 그러나 path space의 원소는 iid가 아니며, $T$는 측도를 보존하지 않습니다.